开区间闭区间讲解（高等数学 区间）

区间

区间是高等数学课程中用得较多的一类数集．

设a和b都是实数，且a<b，数集{x|a<x<b}称为开区间，记作（a，b）

即（a，b）={x|a<x<b}

a和b称为开区间（a，b）的端点，其中a为左端点，b为右端点，且a（a，b），b（a，b）

数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作［a，b］ 即［a，b］={x|a≤x≤b}

a和b也称为闭区间［a，b］的端点，且a∈［a，b］，b∈［a，b］

数集{x|a≤x<b}及{x|a<x≤b}称为半开区间 分别记作［a，b）和（a，b］

以上这些区间都称为有限区间，数b-a称为这些区间的长度．从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段．

对于这样的集合：{x|x≥a}，{x|x>a}，{x|x≤b}，{x|x<b}，我们引进记号+∞（读作正无穷大）及-∞（读作负无穷大），则可用类似于有限区间的记号来表示无限的半开区间或开区间

［a，+∞）={x|x≥a}

（a，+∞）={x|x>a}

（-∞，b］={x|x≤b}

（-∞，b）={x|x<b}．这些区间在数轴上表示长度无限的半直线

全体实数的集合R也记作（-∞，+∞），它也是无限的开区间．以后如果不需要辩明所讨论的区间是开区间还是闭区间，是有限区间还是无限区间，我们就简单地称其为区间，用 “I”代表各种类型的区间．

邻域

设a与δ为两个实数，且δ>0，数集{x｜|x-a|<δ}称为点a的δ邻域 记作U（a，δ）

即U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}，其中a称作U（a，δ）的中心，δ称作U（a，δ）的半径

在数轴上，|x-a|表示点x与点a的距离

因此点a的δ邻域U（a，δ）={x｜|x-a|<δ}在数轴上就表示与点a的距离小于δ的点x的全体

由于|x-a|<δ等价于-δ<x-a<δ，即a-δ<x<a+δ

所以U（a，δ）={x|a-δ<x<a+δ}

因此，U（a，δ）也就是开区间（a-δ，a+δ）这个开区间以点a为中心，长度为2δ

有时用到的邻域需要将邻域中心去掉 点a的δ邻域去掉中心a后，称为点a的去心δ邻域 记作

这里，0<|x-a|就表示x≠a．为了方便，有时将开区间（a-δ，a）称为a的左邻域，而将开区间（a，a+δ）称为a的右邻域．如果不强调半径，以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域，记作U（a）